Introducir el cálculo integral, se logró con el estudio de J.Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, que llevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas.
Los creadores del Análisis Infinitesimal introdujeron el Cálculo Integral, considerando los problemas inversos de sus cálculos. En la teoría de fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante.
El Cálculo Integral incluía además de la integración de funciones, los problemas y la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional, la teoría de funciones especiales, etc. Tal formulación general creció inusualmente rápido. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes volúmenes para dar una exposición sistemática de él.
Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible.
Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integración llevada por este último hasta sus últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todavía constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje. Estos juicios se confirman con la revisión concreta del famoso Cálculo Integral de Euler y su comparación con los textos actuales.
La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar, comienza la historia del cálculo. Tales piedrecitas ensartadas en tiras constituían el ábaco romano que, junto con el suwanpan japonés, constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la que se estudia el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
EVOLUCIÓN HISTÓRICA DEL CÁLCULO INTEGRAL
El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímides utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenon de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el siglo XVII, Francesco B. Cavalieri y Evangelista Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y diferenciación en términos modernos). Fermat e Isaac Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Isaac Newton (hacia 1660) y Gottfried W. Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz.
En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo irlandés George Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bernhard Bolzano y Augustin Louis Cauchy definieron con precisión los límites y las derivadas; Cauchy y Bernhard Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Julius Dedekind y Karl Weierstrass con los números reales. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciales son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del cálculo.
BIOGRAFÍAS DE DOS IMPORTANTES CONTRIBUIDORES QUE APORTARON GRANDES CONOCIMIENTOS AL CÁLCULO INTEGRAL:
“Isaac Newton”
Nació en Inglaterra el 4 de enero de 1643. Entonces, el calendario usado era el juliano y correspondía al 25 de diciembre de 1642, día de la Navidad.[] El parto fue prematuro aparentemente y nació tan pequeño que nadie pensó que lograría vivir mucho tiempo. Su vida corrió peligro por lo menos durante una semana. Fue bautizado el 1 de enero de 1643, 12 de enero en el calendario gregoriano.[]
La casa donde nació y vivió hasta su juventud se ubica en el lado oeste del valle del río Witham, más abajo de la meseta de Kesteven, en dirección a la ciudad de Grantham. Es de piedra caliza gris, el mismo material que se encuentra en la meseta. Tiene forma de una letra T gruesa en cuyo trazo más largo se encuentra la cocina y el vestíbulo, y la sala se encuentra en la unión de los dos trazos.[] Su entrada es descentrada y se ubica entre el vestíbulo y la sala, y se orienta hacia las escaleras que conducen a dos dormitorios del piso superior.
Sus padres fueron Isaac Newton y Hannah Ayscough, dos campesinos puritanos. No llegó a conocer a su padre, pues había muerto en octubre de 1642. Cuando su madre volvió a casarse con Barnabás Smith, este no tenía intención de cargar con un niño ajeno de tres años, lo dejó a cargo de su abuela, con quien vivió hasta la muerte de su padrastro en 1653. Este fue posiblemente un hecho traumático para Isaac; constituía la pérdida de la madre no habiendo conocido al padre. A su abuela nunca le dedicó un recuerdo cariñoso y hasta su muerte pasó desapercibida. Lo mismo ocurrió con el abuelo, que pareció no existir hasta que se descubrió que también estaba presente en la casa y correspondió al afecto de Newton de la misma forma: lo desheredó.[]
Escribió una lista de sus pecados e incluyó uno en particular: «Amenazar a mi padre y a mi madre Smith con quemarlos a ellos y a su casa». Lo hizo nueve años después del fallecimiento del padrastro, lo que comprueba que la escena quedó grabada en el recuerdo de Newton. Las acciones del padrastro, que se negó a llevarlo a vivir con él hasta que cumplió diez años, podrían motivar este odio.[]
Cuando Barnabás Smith falleció, su madre regresó al hogar familiar acompañada por dos hijos de éste matrimonio, sus hermanastros, pero la unión familiar duró menos de dos años. Isaac fue enviado a estudiar al colegio The King's School, en Grantham, a la edad de doce años. Lo que se sabe de esta etapa es que estudió latín, algo de griego y lo básico de geometría y aritmética. Era el programa habitual de estudio de una escuela primaria en ese entonces. Su maestro fue Sr. Stokes, que tenía buen prestigio como educador.[]
En 1659 compró un cuaderno, libro de bolsillo llamado en ese entonces, en cuya primera página escribió en latín "Martij 19, 1659" (19 de marzo 1659). Representaba el período entre 1659 y 1660, que coincidía con el período de su regreso a su ciudad natal, y la mayor parte de sus escritos están dedicados a "Utilissimum prosodiae supplementum". Años después, en la colección Keynes del King's College se encuentra una edición de Píndaro con la firma de Newton y fechada en 1659. En la colección Babson aparece una copia de las Metamorfosis de Ovidio fechadas ese mismo año.[]
Los estudios primarios fueron de gran utilidad para Newton; los trabajos sobre matemáticas estaban escritos en latín, al igual que los escritos sobre filosofía natural, y posteriormente le permitieron entrar en contacto con los científicos europeos. La aritmética básica difícilmente hubiese compensado un nivel deficiente de latín.[] En esa época otra materia importante era el estudio de la Biblia y se leía en lenguas clásicas apoyando el programa clásico de estudios y ampliando la fe protestante de Inglaterra. En el caso de Isaac, el estudio de este tema, unido a la biblioteca que heredó de su padrastro, le pudo haber hecho iniciar un viaje imaginario a extraños mares de la Teología.[]
En su estadía en Grantham se hospedó en la casa de Sr. Clark, en la calle High Street, junto a la George Inn. Tenía que compartir el hogar junto a otros tres niños, Edward, Arthur y una niña, hijos del primer esposo de la mujer de Sr. Clark. Por la infancia que tuvo, Isaac parecía no congeniar con otras personas de su edad. El haber crecido en un ambiente de aislamiento con sus abuelos y la posible envidia que le causaba a sus pares su superioridad intelectual le provocaba dificultades y lo llevaba a realizar travesuras varias que después negaba haber hecho.[] Uno de sus amigos, William Stukeley, se dedicó a reunir información sobre Newton en su estancia en Grantham y concluyó que los niños lo encontraban demasiado astuto y pensaban que se aprovechaba de ellos debido a su rapidez mental, muy superior a la de ellos.[]
Además estas anécdotas demostraron que Newton aparentemente prefería la compañía femenina. Para su amiga Catherine Storer, varios años más joven que él, construyó muebles de muñecas utilizando herramientas con mucha habilidad. Además en el terreno de las suposiciones pudo haber un romance entre los dos jóvenes cuando fueron mayores. Según los registros conocidos, pudo haber sido la primera y posiblemente la única y última experiencia romántica con una mujer en su vida. Tiempo después la señorita Storer se casó con un hombre apellidado Vincent y recordaba a Newton como un joven silencioso y pensativo.[]
Tuvo un incidente con un compañero que posiblemente fuese Arthur Storer. Este le dio una patada en el estómago, supuestamente como represalia a alguna broma pesada de Newton. Este no pudo olvidar nunca este hecho; en este tiempo no había podido afirmar su poder intelectual, a causa de la deficiente formación escolar o porque nuevamente estaba solo y asustado. Estaba relegado al último banco. Según el relato de Conduitt, ni bien finalizó la clase, Newton retó a una pelea al otro niño en el patio de la iglesia para devolverle el golpe. El hijo del maestro se acercó a ellos y azuzó la pelea palmeándole la espalda a uno y guiñándole el ojo al otro. Aunque Newton no era tan fuerte como su rival tenía mayor decisión y golpeó al otro hasta que se rindió y declaró que no pelearía más. El hijo del maestro le pidió a Isaac que lo tratara como a un cobarde y le restregara la nariz contra la pared. Entonces Isaac lo agarró de las orejas y golpeó su cara contra uno de los lados de la iglesia.[]
Además de ganarle en la pelea, Newton se esmeró en derrotarlo académicamente y se convirtió en el primer alumno de la escuela. Y además fue grabando su nombre en todos los bancos que ocupó. Aún se conserva un alféizar de piedra con su nombre.[]
En las anécdotas de Stukeley ya se reconocía el genio de Newton y la gente recordaba sus raros inventos y su gran capacidad para los trabajos mecánicos. Llenó su habitación de herramientas que adquiría con el dinero que su madre le daba. Fabricó objetos de madera, muebles de muñecas y de forma especial maquetas. Además logró reproducir un molino de viento construido en esa época al norte de Grantham. El modelo replicado por Newton mejoró al original y funcionó cuando lo colocó sobre el tejado. Su modelo estaba equipado con una noria impulsada por un ratón al que espoleaba. Newton llamaba al ratón el molinero.[]
Otras construcciones de Newton fueron un carro de cuatro ruedas impulsado por una manivela que él accionaba desde su interior. Otra fue una linterna de papel arrugado para llegar a la escuela en los oscuros días invernales y que además la usaba atada a la cola de una cometa para asustar a los vecinos durante la noche. Para poder realizar estas invenciones debía desatender sus tareas escolares, lo cual le valía retroceder en los puestos, y cuando esto ocurría volvía a estudiar y recuperaba las posiciones perdidas.[] Muchos de los aparatos que fabricó los sacó del libro The Mysteries of Nature and Art, de John Bate, del cual tomó nota en otro cuaderno, en Grantham, que adquirió por el precio de 2,5 peniques en 1659. Allí tomó notas de ese libro sobre la técnica del dibujo, la captura de pájaros y la fabricación de tintas de diferentes colores, entre otros temas. El molino de viento también está incluido en este libro.[ ]
Estudiaba las propiedades de las cometas, calculaba las proporciones ideales y los puntos más adecuados para ajustar las cuerdas. Además les regalaba linternas a sus compañeros y les comentaba sus estudios con el aparente propósito de ganarse su amistad, pero no dio resultado. Con estos procedimientos demostró su superioridad y los hizo sentir más alejados de él. El día de la muerte de Cromwell tuvo lugar su primer experimento. Ese día, una tormenta se desencadenó sobre Inglaterra, y saltando primero a favor del viento y luego en contra, con la comparación de sus saltos con los de un día de calma midió la «fuerza de la tormenta». Les dijo a los niños que la tormenta era un pie más fuerte que cualquiera que hubiese conocido y les enseñó las marcas que medían sus pasos. Además, según esta versión, utilizó la fuerza del viento para ganar un concurso de saltos, y la superioridad de su conocimiento lo hacía sospechoso.[]
Los relojes solares fueron otro pasatiempo en esta ciudad. En la iglesia de Colserworth existe uno que construyó a los nueve años. Los relojes solares eran un reto individual mayor al del manejo de herramientas. Llenó de relojes la casa de Clark, su habitación, otras habitaciones de la casa, el vestíbulo y cualquier otra habitación donde entrara el sol. En las paredes clavó puntas para señalar las horas, las medias, e incluso los cuartos, y ató a éstas cuerdas con ruedas para medir las sombras en los días siguientes.[]
En 1663 conoció a Isaac Barrow, quien le dio clases (habiendo sido designado el primer profesor Lucasiano) de matemática. En la misma época entró en contacto con los trabajos de Galileo, Fermat, Huygens y otros, a partir, probablemente, de la edición de 1659 de la Geometría, de Descartes por Van Schooten. Newton superó rápidamente a Barrow, quien solicitaba su ayuda frecuentemente en problemas matemáticos.
En esta época la geometría y la óptica ya tenían un papel esencial en la vida de Newton. Fue en este momento que su fama comenzó a crecer, ya que inició una correspondencia con la Royal Society. Newton les envió algunos de sus descubrimientos y un telescopio que suscitó gran interés entre los miembros de la Sociedad, aunque también las críticas de algunos, principalmente Robert Hooke. Este fue el comienzo de una de las muchas disputas que tuvo en su carrera científica. Se considera que Newton mostró agresividad ante sus contrincantes, que fueron principalmente (pero no únicamente) Hooke, Leibniz y, en lo religioso, la Iglesia católica. Como presidente de la Royal Society, fue descrito como un dictador cruel, vengativo y buscapleitos. Sin embargo, fue una carta de Hooke, en la que éste comentaba sus ideas intuitivas acerca de la gravedad, la que hizo que iniciara de lleno sus estudios sobre la mecánica y la gravedad. Newton resolvió el problema con el que Hooke no había podido y sus resultados los escribió en lo que muchos científicos creen que es el libro más importante de la historia de la ciencia, Philosophiae naturalis principia mathematica.
En 1693 sufrió una gran crisis psíquica, causante de largos periodos en los que permaneció aislado, durante los que no comía ni dormía. En esta época sufrió depresión y arranques de paranoia. Mantuvo correspondencia con su amigo, el filósofo John Locke, en la que además de contarle su mal estado, lo acusó en varias ocasiones de cosas que nunca hizo. Algunos historiadores creen que la crisis fue causada por la ruptura de su relación con su discípulo Nicolás Fatio de Duillier. Sin embargo, tras la publicación en 1979 de un estudio que demostró una concentración de mercurio (altamente neurotóxico) quince veces mayor que la normal en el cabello de Newton, la mayoría opina que en esta época Newton se había envenenado al hacer sus experimentos alquímicos, lo que explicaría su enfermedad y los cambios en su conducta.[] Después de escribir los Principia abandonó Cambridge, mudándose a Londres, donde ocupó diferentes puestos públicos de prestigio, siendo nombrado Preboste del Rey, magistrado de Charterhouse y director de la Casa de Moneda.
Entre sus intereses más profundos se encontraban la alquimia y la religión, temas en los que sus escritos sobrepasan con mucho en volumen a sus escritos científicos. Entre sus opiniones religiosas defendía el arrianismo y estaba convencido de que las Sagradas Escrituras habían sido violadas para sustentar la doctrina trinitaria. Esto le causó graves problemas al formar parte del Trinity College en Cambridge y sus ideas religiosas impidieron que pudiera ser director del College. Entre sus estudios alquímicos se encontraban temas esotéricos como la transmutación de los elementos, la piedra filosofal y el elixir de la vida.
“Leibnitz”
“Gottfried Wilhelm Leibniz” fue un filósofo, lógico, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán.
Fue uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, y se le reconoce como "El último genio universal". Realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como a la matemática, física, geología, jurisprudencia e historia. Incluso Denis Diderot, el filósofo deísta francés del siglo XVIII, cuyas opiniones no podrían estar en mayor oposición a las de Leibniz, no podía evitar sentirse sobrecogido ante sus logros, y escribió en la Enciclopedia: "Quizás nunca haya un hombre leído tanto, estudiado tanto, meditado más y escrito más que Leibniz... Lo que ha elaborado sobre el mundo, sobre Dios, la naturaleza y el alma es de la más sublime elocuencia. Si sus ideas hubiesen sido expresadas con el olfato de Platón, el filósofo de Leipzig no cedería en nada al filósofo de Atenas."[]
De hecho, el tono de Diderot es casi de desesperanza en otra observación, que contiene igualmente mucha verdad: "Cuando uno compara sus talentos con los de Leibniz, uno tiene la tentación de tirar todos sus libros e ir a morir silenciosamente en la oscuridad de algún rincón olvidado." La reverencia de Diderot contrasta con los ataques que otro importante filósofo, Voltaire, lanzaría contra el pensamiento filosófico de Leibniz. A pesar de reconocer la vastedad de la obra de éste, Voltaire sostenía que en toda ella no había nada útil que fuera original, ni nada original que no fuera absurdo y risible.
Ocupa un lugar igualmente importante tanto en la historia de la filosofía como en la de las matemáticas. Inventó el cálculo infinitesimal, independientemente de Newton, y su notación es la que se emplea desde entonces. También inventó el sistema binario, fundamento virtualmente de todas las arquitecturas de las computadoras actuales. Fue uno de los primeros intelectuales europeos que reconocieron el valor y la importancia del pensamiento chino y de China como potencia desde todos los puntos de vista.
Junto con René Descartes y Baruch Spinoza, es uno de los tres grandes racionalistas del siglo XVII. Su filosofía se enlaza también con la tradición escolástica y anticipa la lógica moderna y la filosofía analítica. Leibniz hizo asimismo contribuciones a la tecnología y anticipó nociones que aparecieron mucho más tarde en biología, medicina, geología, teoría de la probabilidad, psicología, ingeniería y ciencias de la computación. Sus contribuciones a esta vasta lista de temas se recogen en diarios y en decenas de miles de cartas y manuscritos inéditos. Hasta el momento, no se ha realizado una edición completa de sus escritos, y por ello no es posible aún hacer un recuento integral de sus logros.
Gottfried Leibniz nació el 1 de julio de 1646 en Leipzig, dos años antes de que terminara la Guerra de los Treinta Años, hijo de Federico Leibniz, jurista y profesor de filosofía moral en la Universidad de Leipzig, y Catherina Schmuck, hija de un profesor de leyes. Siendo adulto, frecuentemente firmaba como "von Leibniz" y numerosas ediciones póstumas de sus obras lo nombran como "Freiherr [Barón] G. W. von Leibniz"; sin embargo, no se ha encontrado documento alguno que confirme que se le haya concedido un título nobiliario.[] Su padre falleció cuando tenía seis años, de modo que su educación quedó en manos de su madre, de su tío, y según sus propias palabras, de sí mismo. Al morir su padre, dejó una biblioteca personal de la que Leibniz pudo hacer uso libremente a partir de los siete años, y procedió a beneficiarse de su contenido, en particular los volúmenes de historia antigua y de los Padres de la Iglesia.
Para cuando tenía 12 años había aprendido por sí mismo latín, el cual utilizó durante el resto de su vida, y había empezado a estudiar griego. En 1661, a la edad de 14 años, se matriculó en la Universidad de Leipzig y completó sus estudios a los 20 años, especializándose en leyes y mostrando dominio de los clásicos, lógica y filosofía escolástica. Sin embargo, su educación en matemáticas no estaba a la altura de franceses o británicos. En 1666 publicó su primer libro y también su tesis de habilitación Sobre el arte de las combinaciones. Cuando la universidad declinó el asegurarle un puesto docente en leyes tras su graduación, Leibniz optó por entregar su tesis a la Universidad de Altdorf y obtuvo su doctorado en cinco meses. Declinó después la oferta de un puesto académico en Altdorf y dedicó el resto de su vida al servicio de dos prominentes familias de la nobleza alemana.
En conclusión esperamos que la información contenida en este blog sea de utilidad para ustedes, cabiendo mencionar, que el cálculo integral, tiene muchos objetivos como se menciona a continuación:
es la 
que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.
y 
